2017年廣東省數學中考模擬試題(2)
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°.
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 .
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 .
∴AB=AC+BC=50+50 ≈50+50×1.732≈136.6(米).
答：景點A與B之間的距離大約為136.6米.
四、解答題(二)(每題7分，共21分)
20.“3•15”前夕，為了解食品安全狀況，質監部門抽查了甲、乙、丙、丁四個品牌飲料的質量，將收集的數據整理并繪制成圖1和圖2兩幅尚不完整的統計圖，請根據圖中的信息，完成下列問題：
(1)這次抽查了四個品牌的飲料共 200 瓶;
(2)請你在答題卡上補全兩幅統計圖;
(3)求圖1中“甲”品牌所對應的扇形圓心角的度數;
(4)若四個品牌飲料的平均合格率是95%，四個品牌飲料月銷售量約20萬瓶，請你估計這四個品牌的不合格飲料有多少瓶?
【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖.
【分析】(1)根據乙的瓶數40，所占比為20%，即可求出這四個品牌的總瓶數;
(2)根據丁品牌飲料的瓶數70，總瓶數是200，即可求出丁所占的百分比，再用整體1減去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以總瓶數，即可得出丙的瓶數，從而補全統計圖;
(3)根據甲所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案;
(4)用月銷售量×(1﹣平均合格率)即可得到四個品牌的不合格飲料的瓶數.
【解答】解：(1)四個品牌的總瓶數是：
40÷20%=200(瓶);
(2)丁所占的百分比是： ×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
則丙的瓶數是：200×15%=30(瓶);
：
(3)甲所對應的扇形圓心角的度數是：30%×360°=108°;
(4)根據題意得：200000×(1﹣95%)=10000(瓶).
答：這四個品牌的不合格飲料有10000瓶.
故答案為：200.
21.現有甲、乙兩個空調安裝隊分別為A、B兩個公司安裝空調，甲安裝隊為A公司安裝66臺空調，乙安裝隊為B公司安裝80臺空調，乙安裝隊提前一天開工，最后與甲安裝隊恰好同時完成安裝任務.已知甲隊比乙隊平均每天多安裝2臺空調，求甲、乙兩個安裝隊平均每天各安裝多少臺空調.
【考點】分式方程的應用.
【分析】設甲安裝隊每天安裝x臺空調，則乙安裝隊每天安裝(x﹣2)臺空調，根據乙隊比甲隊多用時間一天為等量關系建立方程求出其解即可.
【解答】解：設甲安裝隊每天安裝x臺空調，則乙安裝隊每天安裝(x﹣2)臺空調，由題意，得
，
解得：x1=22，x2=﹣6.
經檢驗，x1=22，x2=﹣6都是原方程的根，x=﹣6不符合題意，舍去.
∴x=22，
∴乙安裝隊每天安裝22﹣2=20臺.
答：甲安裝隊每天安裝22臺空調，則乙安裝隊每天安裝20臺空調.
22.，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，DE⊥BC，垂足為E.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若DG⊥AB，垂足為點F，交⊙O于點G，∠A=35°，⊙O半徑為5，求劣弧DG的長.(結果保留π)
【考點】切線的判定;弧長的計算.
【分析】(1)連接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線判定推出即可;
(2)求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD的度數，根據弧長公式求出即可.
【解答】(1)證明：1，連接BD、OD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線;
(2)解：2所示，連接OG，OD
∵DG⊥AB，OB過圓心O，
∴弧BG=弧BD，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠BOG=∠BOD=70°，
∴∠GOD=140°，
∴劣弧DG的長是 = π.
五、解答題(三)(每題9分，共27分)
23.，直線AB與x軸交于點A(1，0)，與y軸交于點B(0，﹣2).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若直線AB上的點C在第一象限，且S△BOC=2，求經過點C的反比例函數的解析式.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A(1，0)、點B(0，﹣2)分別代入解析式即可組成方程組，從而得到AB的解析式;
(2)根據三角形的面積公式和直線解析式求出點C的坐標，即可求解.
【解答】解：(1)設直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)，
∵直線AB過點A(1，0)、點B(0，﹣2)，
∴ ，
解得 ，
∴直線AB的解析式為y=2x﹣2;
(2)設點C的坐標為(m，n)，經過點C的反比例函數的解析式為y= ，
∵點C在第一象限，
∴S△BOC= ×2×m=2，
解得：m=2，
∴n=2×2﹣2=2，
∴點C的坐標為(2，2)，
則a=2×2=4，
∴經過點C的反比例函數的解析式為y= .
24.1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H.
(1)求證：CF=CH;
(2)2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結論.
【考點】菱形的判定;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH;
(2)根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形.
【解答】(1)證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.
在△BCF和△ECH中， ，
∴△BCF≌△ECH(ASA)，
∴CF=CH(全等三角形的對應邊相等);
(2)解：四邊形ACDM是菱形.
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°.
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四邊形ACDM是平行四邊形(兩組對角相等的四邊形是平行四邊形)，
∵AC=CD，
∴四邊形ACDM是菱形.
25.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC= ，點O是AB邊上動點，以O為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點為D，過點D作AB的垂線，交⊙O于點E，聯結BE、AE
(1)當AE∥BC((1))時，求⊙O的半徑長;
(2)設BO=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域;
(3)若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點D、E，當⊙A恰好也過點C時，求DE的長.
【考點】圓的綜合題;全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質;等腰三角形的性質;勾股定理;平行四邊形的判定與性質;銳角三角函數的定義.
【分析】(1)過點O作OG⊥BD于G，設AB與DE的交點為F，(1)，易證△AEF≌△BDF及四邊形AEDC是平行四邊形，從而可得BD=DC=5，根據垂徑定理可得BG=DG= BD= ，然后在Rt△BGO中運用三角函數和勾股定理即可求出⊙O的半徑長;
(2)過點A作AH⊥BC于H，(2)，運用三角函數、勾股定理及面積法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根據垂徑定理可得DF=EF，再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AD.然后在Rt△BGO中運用三角函數和勾股定理可求出BG(用x的代數式表示)，進而可用x的代數式依次表示出BD、DH，AD、AE，問題得以解決;
(3)①若點D在H的左邊，(2)，根據等腰三角形的性質可得DH=CH，從而依次求出BD、DF、DE的長;②若點D在H的右邊，則點D與點C重合，從而可依次求出BD、DF、DE的長.
【解答】解：(1)過點O作OG⊥BD于G，設AB與DE的交點為F，(1)，
根據垂徑定理可得BG=DG.
∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF.
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD.
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC.
∵AE∥BC，
∴四邊形AEDC是平行四邊形，
∴AE=DC，
∴BD=DC= BC=5，
∴BG=DG= BD= .
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG= × = ，
∴OB= = = ，
∴⊙O的半徑長為 ;
(2)過點A作AH⊥BC于H，(2)，
在Rt△BAC中，
tan∠ABC= = ，
設AC=3k，則AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH= = = ，
∴BH= = = ，
∴HC=BC﹣BH=10﹣ = .
∵AB⊥DE，
∴根據垂徑定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD.
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG，
∴OB= = = BG=x，
∴BG= x，
∴BD=2BG= ，
∴DH=BH﹣BD= ﹣ x，
∴y=AE=AD=
=
=
= (0
(3)①若點D在H的左邊，(2)，
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH= ，
∴BD=BH﹣DH= ﹣ = .
在Rt△BFD中，
tan∠FBD= = ，
∴BF= DF，
∴BD=
=
= DF= ，
∴DF= ，
∴DE=2DF= ;
②若點D在H的右邊，
則點D與點C重合，
∴BD=BC=10，
∴ DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12.
綜上所述：當⊙A恰好也過點C時，DE的長為 或12.
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