2017年衡陽中考數學練習試題及答案(2)
【點評】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理、相交弦定理、三角函數、三角形面積的計算等知識;本題難度較大，綜合性強，特別是③中，需要運用三角形相似、勾股定理、相交弦定理、圓周角定理才能得出結果.
18.，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的余弦值是( )
A.2 B. C. D.
【考點】KQ：勾股定理;KS：勾股定理的逆定理;T1：銳角三角函數的定義.
【分析】先根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數的定義即可得出結論.
【解答】解：∵由圖可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC= = .
故選D.
【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.
19.函數y=k(x﹣k)與y=kx2，y= (k≠0)，在同一坐標系上的圖象正確的是( )
A. B. C. D.
【考點】H2：二次函數的圖象;F3：一次函數的圖象;G2：反比例函數的圖象.
【分析】將一次函數解析式展開，可得出該函數圖象與y軸交于負半軸，分析四個選項可知，只有C選項符合，由此即可得出結論.
【解答】解：一次函數y=k(x﹣k)=kx﹣k2，
∵k≠0，
∴﹣k2<0，
∴一次函數與y軸的交點在y軸負半軸.
A、一次函數圖象與y軸交點在y軸正半軸，A不正確;
B、一次函數圖象與y軸交點在y軸正半軸，B不正確;
C、一次函數圖象與y軸交點在y軸負半軸，C可以;
D、一次函數圖象與y軸交點在y軸正半軸，D不正確.
故選C.
【點評】本題考查了一次函數的圖象，解題的關鍵是分析一次函數圖象與y軸的交點.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題時，由一次函數與y軸的交點即可排除了A、B、D三個選項，因此只需分析一次函數圖象即可得出結論.
20.，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順指針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去…，若點A( ，0)，B(0，4)，則點B2016的橫坐標為( )
A.5 B.12 C.10070 D.10080
【考點】R7：坐標與圖形變化﹣旋轉.
【分析】由圖象可知點B2016在第一象限，求出B2，B4，B6的坐標，探究規律后即可解決問題.
【解答】解：由圖象可知點B2016在第一象限，
∵OA= ，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB= = = ，
∴B2(10，4)，B4(20，4)，B6(30，4)，…
∴B2016(10080，4).
∴點B2016縱坐標為10080.
故選D.
【點評】本題考查坐標與圖形的變化﹣旋轉、勾股定理等知識，解題的關鍵是從特殊到一般探究規律，發現規律，利用規律解決問題，屬于中考常考題型.
二、填空題：本大題共4小題，滿分12分，只要求填寫最后結果，每小題填對得3分.
21.分解因式：x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .
【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式x，進而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解：x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.
故答案為：x(x﹣1)2.
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵.
22.，AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線，切點為F.若∠ACF=65°，則∠E= 50° .
【考點】MC：切線的性質.
【分析】連接DF，連接AF交CE于G，由AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，得到 ，由于EF是⊙O的切線，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根據外角的性質和圓周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到結果.
【解答】解：連接DF，連接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，
∴ ，
∵EF是⊙O的切線，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案為：50°.
方法二：
連接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四點共圓，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°
【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.
23.，已知點A、C在反比例函數y= 的圖象上，點B，D在反比例函數y= 的圖象上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB= ，CD= ，AB與CD間的距離為6，則a﹣b的值是 3 .
【考點】G4：反比例函數的性質.
【分析】設點A、B的縱坐標為y1，點C、D的縱坐標為y2，分別表示出來A、B、C、D四點的坐標，根據線段AB、CD的長度結合AB與CD間的距離，即可得出y1、y2的值，再由點A、B的橫坐標結合AB= 即可求出a﹣b的值.
【解答】解：設點A、B的縱坐標為y1，點C、D的縱坐標為y2，
則點A( ，y1)，點B( ，y1)，點C( ，y2)，點D( ，y2).
∵AB= ，CD= ，
∴2×| |=| |，
∴|y1|=2|y2|.
∵|y1|+|y2|=6，
∴y1=4，y2=﹣2.
∴AB= ﹣ = = ，
∴a﹣b=3.
故答案為：3.
【點評】本題考查了兩點間的距離、反比例函數圖象上點的坐標特征以及反比例函數的性質，解題的關鍵是利用兩點間的距離公式找出AB= .
24.，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點.若AB=8，AD=12，則四邊形ENFM的周長為 20 .
【考點】KX：三角形中位線定理;KQ：勾股定理;LB：矩形的性質.
【分析】根據M是邊AD的中點，得AM=DM=6，根據勾股定理得出BM=CM=10，再根據E、F分別是線段BM、CM的中點，即可得出EM=FM=5，再根據N是邊BC的中點，得出EM=FN，EN=FM，從而得出四邊形EN，FM的周長.
【解答】解：∵M、N分別是邊AD、BC的中點，AB=8，AD=12，
∴AM=DM=6，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴BM=CM=10，
∵E、F分別是線段BM、CM的中點，
∴EM=FM=5，
∴EN，FN都是△BCM的中位線，
∴EN=FN=5，
∴四邊形ENFM的周長為5+5+5+5=20，
故答案為20.
【點評】本題考查了三角形的中位線，勾股定理以及矩形的性質，是中考常見的題型，難度不大，比較容易理解.
三、解答題：本大題共5小題，滿分48分，解答應寫出文字說明、證明過程演算步驟.
25.，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點B，與y軸交于點A，與反比例函數y= 的圖象在第二象限交于點C，CE⊥x軸，垂足為點E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2.
(1)求反比例函數的解析式;
(2)若點D是反比例函數圖象在第四象限上的點，過點D作DF⊥y軸，垂足為點F，連接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO，求點D的坐標.
【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題;G5：反比例函數系數k的幾何意義;G6：反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)由邊的關系可得出BE=6，通過解直角三角形可得出CE=3，結合函數圖象即可得出點C的坐標，再根據點C的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征，即可求出反比例函數系數m，由此即可得出結論;
(2)由點D在反比例函數在第四象限的圖象上，設出點D的坐標為(n，﹣ )(n>0).通過解直角三角形求出線段OA的長度，再利用三角形的面積公式利用含n的代數式表示出S△BAF，根據點D在反比例函數圖形上利用反比例函數系數k的幾何意義即可得出S△DFO的值，結合題意給出的兩三角形的面積間的關系即可得出關于n的分式方程，解方程，即可得出n值，從而得出點D的坐標.
【解答】解：(1)∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x軸，
∴∠CEB=90°.
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
結合函數圖象可知點C的坐標為(﹣2，3).
∵點C在反比例函數y= 的圖象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函數的解析式為y=﹣ .
(2)∵點D在反比例函數y=﹣ 第四象限的圖象上，
∴設點D的坐標為(n，﹣ )(n>0).
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2.
∵S△BAF= AF•OB= (OA+OF)•OB= (2+ )×4=4+ .
∵點D在反比例函數y=﹣ 第四象限的圖象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3.
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
經驗證，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴點D的坐標為( ，﹣4).
【點評】本題考查了解直角三角形、反比例函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式以及反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是：(1)求出點C的坐標;(2)根據三角形的面積間的關系找出關于n的分式方程.本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，找出點的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出反比例函數系數是關鍵.
26.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC;
(2)2，在(1)的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2;
(3)3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
【考點】SO：相似形綜合題.
【分析】(1)根據軸對稱的性質可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似證明;
(2)根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可;
(3)作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可.
【解答】證明：(1)∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAC=∠DAF，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2;
(3)DE2=BD2+CE2還能成立.
理由如下：作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，
由軸對稱的性質得，EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴∠ECF=180°﹣∠BCF=180°﹣90°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2.
【點評】本題是相似形綜合題，主要利用了軸對稱的性質，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關鍵.
27.某服裝點用6000購進A，B兩種新式服裝，按標價售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價﹣進價)，這兩種服裝的進價，標價如表所示.
類型
價格 A型 B型
進價(元/件) 60 100
標價(元/件) 100 160
(1)求這兩種服裝各購進的件數;
(2)如果A種服裝按標價的8折出售，B種服裝按標價的7折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標價出售少收入多少元?
【考點】9A：二元一次方程組的應用.
【分析】(1)設A種服裝購進x件，B種服裝購進y件，由總價=單價×數量，利潤=售價﹣進價建立方程組求出其解即可;
(2)分別求出打折后的價格，再根據少收入的利潤=總利潤﹣打折后A種服裝的利潤﹣打折后B中服裝的利潤，求出其解即可.
【解答】解：(1)設A種服裝購進x件，B種服裝購進y件，由題意，得
，
解得： .
答：A種服裝購進50件，B種服裝購進30件;
(2)由題意，得：
3800﹣50(100×0.8﹣60)﹣30(160×0.7﹣100)
=3800﹣1000﹣360
=2440(元).
答：服裝店比按標價售出少收入2440元.
【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程組.
28.(10分)(2017•寧陽縣二模)，已知菱形ABCD的邊長為2，∠ADC=60°，等邊三角形△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F.
(1)求證：△ADE≌△ACF;
(2)2所示，若點E，F始終分別在邊DC，CB上移動，記等邊△AEF面積為S，則S是否存在最小值?若存在，值為多少;若不存在，請說明理由;
(3)若S存在最小值，對角線AC上是否存在點P，使△PDE的周長最小?若存在，請求出這個最小值;若不存在，請說明理由.
【考點】LO：四邊形綜合題.
【分析】(1)根據菱形的性質判斷△ADC為等邊三角形，則AD=AC，再根據邊三角形的性質得∠EAF=60°，AE=AF，易得∠DAE=∠CAF，然后根據“SAS”可證明△ADE≌△ACF;
(2)設DE=x，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到DH= x，EH= x，則AH=AD﹣DH=2﹣ x，再在Rt△AEH中根據勾股定理計算出AE2=x2﹣2x+4，然后根據等邊三角形的面積公式得到S= (x2﹣2x+4)，再利用配方得到S= (x﹣1)2+ ，然后根據非負數的性質即可得到當x=1時，S有最小值 ;
(3)③，作EQ⊥BC于Q，連接BE交AC于P，連接PD，由菱形的性質得AC垂直平分BD，則PD=PB，所以PE+PD=PE+PB=BE，根據兩點之間線段最短得到此時△PDE的周長最小，在Rt△CQE中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CQ= ，QE= ，然后在Rt△BEQ中，根據勾股定理可計算出BE= ，于是得到此時△PDE的周長為1+ ，即△PDE的周長最小值為1+ .
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC=DA，
∵∠ADC=60°，
∴△ADC為等邊三角形，
∴AD=AC，
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
∵∠DAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠DAE=∠CAF，
在△ADE和△ACF中，
，
∴△ADE≌△ACF(ASA);
(2)解：存在.
設DE=x，
在Rt△DEH中，∵∠D=60°，
∴∠DHE=30°，
∴DH= x，EH= x，
∴AH=AD﹣DH=2﹣ x，
在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=(2﹣ x)2+( x)2=x2﹣2x+4，
∴S= AE2= (x2﹣2x+4)= (x﹣1)2+ ，
∴當x=1時，S有最小值，最小值為 ;
(3)，作EQ⊥BC于Q，連接BE交AC于P，連接PD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PD=PB，
∴PE+PD=PE+PB=BE，
∴此時△PDE的周長最小，
∵DE=1，
∴EC=1，
∵∠BCE=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△CQE中，CQ= CE= ，QE= CQ= ，
∴BQ=BC+CQ=2+ = ，
在Rt△BEQ中，BE= = ，
∴此時△PDE的周長=DE+PE+PD=DE+BE=1+ .
【點評】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握菱形的性質、等邊三角形的判定與性質和非負數的性質;會運用配方法解決代數式的最值問題;利用對稱解決最小距離之和的問題;會應用含30度的直角三角形三邊的關系和勾股定理進行幾何計算.
29.(12分)(2016•德州)已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|<|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A(m，0)，B(0，n)，所示.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀;
(3)點P是直線BC上的一個動點(點P不與點B和點C重合)，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為 個單位長度，設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式.
【考點】HF：二次函數綜合題.
【分析】(1)先解一元二次方程，然后用待定系數法求出拋物線解析式;
(2)先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論;
(3)先求出QF=1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可.
【解答】解(1)∵x2+4x+3=0，
∴x1=﹣1，x2=﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根，且|m|<|n|，
∴m=﹣1，n=﹣3，
∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A(m，0)，B(0，n)，
∴ ，
∴ ，
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，
(2)令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3，
∴C(3，0)，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴頂點坐標D(1，﹣4)，
過點D作DE⊥y軸，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形;
(3)，
∵B(0，﹣3)，C(3，0)，
∴直線BC解析式為y=x﹣3，
∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，
∴點M的橫坐標為t，
∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，
∴P(t，t﹣3)，M(t，t2﹣2t﹣3)，
過點Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ= ，
∴QF=1，
當點P在點M上方時，即0
PM=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t，
∴S= PM×QF= (﹣t2﹣3t)=﹣ t2+ t，
3，當點P在點M下方時，即t<0或t>3時，
PM=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)，
∴S= PM×QF= (t2﹣3t)= t2﹣ t
【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，待定系數法求函數解析式，等腰直角三角形的性質和判定，解本題的關鍵是判定△BCD是直角三角形.
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