2017年濟南數學中考模擬真題及答案(2)
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.
16.，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D(P、D兩點不重合)兩點間的最短距離為 2 ﹣2 .
【考點】L8：菱形的性質;KI：等腰三角形的判定;KK：等邊三角形的性質.
【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PC為底.③若以邊PB為底.分別求出PD的最小值，即可判斷.
【解答】解：①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上(在菱形的邊及其內部)的點滿足題意，此時就轉化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短“，即當點P與點A重合時，PD值最小，為2;
?、谌粢赃匬C為底，∠PBC為頂角時，以點B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點，則弧AC(除點C外)上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當點P在BD上時，PD最小，最小值為2√3﹣2;
③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當點P與點D重合時，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在;
綜上所述，PD的最小值為2 ﹣2.
【點評】本題考查菱形的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17.(10分)(2017•呼和浩特一模)計算、求值：
(1)計算：| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1);
(2)已知單項式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項，求m，n的值.
【考點】79：二次根式的混合運算;34：同類項;6F：負整數指數冪.
【分析】(1)利用絕對值的定義結合平方差公式計算得出答案;
(2)直接利用同類項的定義分析得出答案.
【解答】解：(1)| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1)
=2﹣ +2﹣(5﹣1)
=﹣ ;
(2)∵單項式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項，
∴ ，
解得： .
【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算以及同類項定義，正確化簡各數是解題關鍵.
18.，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F
(1)求證：EF=DE;
(2)若AC=BC，判斷四邊形ADCF的形狀.
【考點】LC：矩形的判定;KD：全等三角形的判定與性質;KX：三角形中位線定理.
【分析】(1)首先根據三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據全等三角形的性質即可推出EF=DE;
(2)首先證得四邊形ADCF是平行四邊形、四邊形DBCF也為平行四邊形，從而得到BC=DF，然后根據AC=BC得到AC=DE，從而得到四邊形ADCF是矩形.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位線，
∴E為AC中點，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴DE=FE.
(2)解：四邊形ADCF是矩形.
∵DE=FE，AE=AC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四邊形ADCF是正方形.
【點評】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質及三角形的中位線定理的知識，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，難度不大.
19.(10分)(2017•呼和浩特一模)為了解“足球進校園”活動開展情況，某中學利用體育課進行了定點射門測試，每人射門5次，所有班級測試結束后，隨機抽取了某班學生的射門情況作為樣本，對進球的人數進行整理后，繪制了不完整的統計圖表，該班女生有22人，女生進球個數的眾數為2，中位數為3.
女生進球個數的統計表
進球數(個) 人數
0 1
1 2
2 x
3 y
4 4
5 2
(1)求這個班級的男生人數，補全條形統計圖，并計算出扇形統計圖中進2個球的扇形的圓心角度數;
(2)寫出女生進球個數統計表中x，y的值;
(3)若該校共有學生1880人，請你估計全校進球數不低于3個的學生大約多少人?
【考點】VC：條形統計圖;V5：用樣本估計總體;VB：扇形統計圖;W4：中位數;W5：眾數.
【分析】(1)根據進球數為3個的人數除以占的百分比求出男生總人數即可;求出進球數為4個的人數，以及進球數為2個的圓心角度數，補全條形統計圖即可;
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，由于女生進球個數的眾數為2，中位數為3，于是得到結論;
(3)求出進球數不低于3個的百分比，乘以1880即可得到結果.
【解答】解：(1)這個班級的男生人數為6÷24%=25(人)，
則這個班級的男生人數為25人;男生進球數為4個的人數為25﹣(1+2+5+6+4)=7(人)，進2個球的扇形圓心角度數為360°× =72°;
補全條形統計圖，所示：
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，
∵n女生進球個數的眾數為2，中位數為3，
∴x=7，y=6;
(3)根據題意得：47個學生中女生進球個數為6+4+2=12;男生進球數為6+7+4=17，
∴1880× =1160(人)，
則全校進球數不低于3個的學生大約有1160人.
【點評】此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，用樣本估計總體，弄清題中的數據是解本題的關鍵.
20.所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行30米到達B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據以上數據，幫助該同學計算出這條河的寬度.(結果用含非特殊角的三角函數和根式表示即可)
【考點】TB：解直角三角形的應用﹣方向角問題.
【分析】作CE⊥AB于E.由題意可以假設CE=BE=x，在Rt△CAE中，求出AE，根據AB=AE﹣BE，列出方程即可解決問題.
【解答】解：作CE⊥AB于E.
由題意：∠CAE=31°，∠CBE=45°，AB=30，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，
∴可以假設CE=BE=x，
在Rt△CAE中，∵∠CEA=90°，
∴AE= = ，
∵AB=AE﹣BE= ﹣x=30，
∴x= ，
答：這條河的寬度為 m.
【點評】本題考查解直角三角形、方位角、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型.
21.已知關于x的不等式組 有解，求實數a的取值范圍，并寫出該不等式組的解集.
【考點】CB：解一元一次不等式組.
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.
【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式 (x﹣2)>3x+4，得：x<﹣2，
由題意得： <﹣2，
解得：a<﹣6，
∴不等式組的解集為 ≤x<﹣2.
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.
22.在直角坐標系中，直線y=kx+1(k≠0)與雙曲線y= (x>0)相交于點P(1，m)
(1)求k的值;
(2)若雙曲線上存在一點Q與點P關于直線y=x對稱，直線y=kx+1與x軸交于點A，求△APQ的面積.
【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)將P的坐標代入雙曲線中求出m的值，然后將P的坐標代入直線解析式中求出k的值.
(2)求出P關于y=x的對稱點Q，然后利用待定系數法求出直線PQ的解析式，然后求出點B的坐標，最后利用S△APQ=S△APB﹣S△AQB即可求出答案.
【解答】解：(1)將x=1代入y= ，
∴y=2，
∴P(1，2)
∴將P(1，2)代入y=kx+1
∴k=1，
(2)易知P(1，2)關于直線y=x的對稱點為Q(2，1)
設直線PQ的解析式為：y=kx+b，
將P、Q的坐標代入上式，
∴
解得：
∴直線PQ的解析式為：y=﹣x+3
∴令y=0代入y=﹣x+3
∴x=3，
∴S△APQ=S△APB﹣S△AQB
= ×4×(2﹣1)
=2
【點評】本題考查反比例函數與一次函數的綜合問題，解題的關鍵是熟練運用待定系數法，本題屬于中等題型.
23.春節期間，某商場計劃購進甲、乙兩種商品，已知購進甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數量不少于乙種商品數量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并求出最大利潤.
【考點】FH：一次函數的應用;9A：二元一次方程組的應用;C9：一元一次不等式的應用.
【分析】(1)根據題意可以列出相應的方程組，從而可以解答本題;
(2)根據題意可以得到利潤與甲種商品的關系，由甲種商品的數量不少于乙種商品數量的4倍，可以得到甲種商品的取值范圍，從而可以求得獲利最大的進貨方案，以及最大利潤.
【解答】解：(1)設甲、乙兩種商品每件的進價分別是x元、y元，
，
解得， ，
即甲、乙兩種商品每件的進價分別是30元、70元;
(2)設購買甲種商品a件，獲利為w元，
w=(40﹣30)a+(90﹣70)(100﹣a)=﹣10a+2000，
∵a≥4(100﹣a)，
解得，a≥80，
∴當a=80時，w取得最大值，此時w=1200，
即獲利最大的進貨方案是購買甲種商品80件，乙種商品20件，最大利潤是1200元.
【點評】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數的性質和不等式的性質解答問題.
24.，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G.
求證：
(1)FC=FG;
(2)AB2=BC•BG.
【考點】S9：相似三角形的判定與性質;M2：垂徑定理;MC：切線的性質.
【分析】(1)由平行線的性質得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質得出FA=FD，由等腰三角形的性質得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結論;
(2)連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應邊成比例，即可得出結論.
【解答】證明：(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中點，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG;
(2)連接AC，所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直徑，
∵FD是⊙O的切線，切點為C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ = ，
∴AB2=BC•BG.
【點評】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、弦切角定理等知識;熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題(2)的關鍵.
25.(10分)(2017•呼和浩特一模)拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點C，點P為拋物線上一點，且位于x軸下方.
(1)1，若P(1，﹣3)，B(4，0).D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，且D與B分布位于直線OP的兩側，求點C與點D的坐標;
(2)2，A，B是拋物線y=ax2+c與x軸的兩個交點，直線PA，PB與y軸分別交于E，F兩點，當點P在x軸下方的拋物線上運動時， 是否為定值?若是，試求出該定值;若不是，請說明理由(記OA=OB=t)
【考點】HF：二次函數綜合題.
【分析】(1)根據待定系數法求函數解析式，可得答案;根據平行線的判定，可得PD∥OB，根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得D點坐標;
(2)根據待定系數法，可得E、F點的坐標，根據分式的性質，可得答案.
【解答】解：(1)將P(1，﹣3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得
，
解得 ，
拋物線的解析式為y= x2﹣ .
∴C(0，﹣ )
1，
當點D在OP左側時，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D與P關于y軸對稱，P(1，﹣3)，
得D(﹣1，﹣3);
(2)點P運動時， 是定值，定值為2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q點，設P(m，am2+c)，A(﹣t，0)，B(t，0)，則at2+c=0，c=﹣at2.
∵PQ∥OF，
∴ = ，
∴OF= =﹣ = =amt+at2.
同理OE=﹣amt+at2.
∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC.
∴ =2.
【點評】本題考查了二次函數綜合題，①利用待定系數法求函數解析式;②利用函數值相等的點關于對稱軸對稱得出D點坐標是解題關鍵;(2)利用待定系數法求出E、F點坐標是解題關鍵.
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