2017年鞍山中考數學模擬試題及答案(2)

　　解得：x1=3，x2=﹣7，

　　∴點B的坐標為(3，3)或(3，﹣7).

　　故答案為：(3，3)或(3，﹣7).

　　20.，⊙O的半徑是5，△ABC是⊙O的內接三角形，過圓心O，分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為E、F、G，連接EF，若OG=3，則EF為　4　.

　　【考點】三角形的外接圓與外心.

　　【分析】連接OA，根據勾股定理和垂徑定理求出AC，根據三角形中位線定理求出EF.

　　【解答】解：連接OA，

　　∵OG⊥AC，

　　∴∠OGA=90°，AC=2AG，

　　∴AG= =4，

　　∴AC=2AG=8，

　　∵OE⊥AB，OF⊥BC，

　　∴AE=EB，CF=FB，

　　∴EF= AC=4，

　　故答案為：4.

　　三、解答題：(本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明，說理過程或演算步驟)

　　21.(1)計算：2﹣1﹣ tan60°+(π﹣2015)0+|﹣ |;

　　(2)解方程：x2﹣1=2(x+1).

　　【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;解一元二次方程﹣因式分解法;特殊角的三角函數值.

　　【分析】(1)原式第一項利用負整數指數冪法則計算，第二項利用特殊角的三角函數值計算，第三項利用零指數冪法則計算，最后一項利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果;

　　(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

　　【解答】解：(1)原式= ﹣ × +1+ =﹣1;

　　(2)方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，即(x﹣3)(x+1)=0，

　　解得：x1=﹣1，x2=3.

　　22.，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB=DE.

　　(1)求證：BD=BC;

　　(2)若BD=6cm，求AC的長.

　　【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.

　　【分析】(1)欲證明BD=BC，只要證明△ABC≌△EDB即可.

　　(2)由E是BC中點，BD=6cm，BD=BC，推出BE= BC= BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解決問題.

　　【解答】(1)證明：∵DE⊥AB，

　　∴∠BFE=90°，

　　∴∠ABC+∠DEB=90°，

　　∵∠ACB=90°，

　　∴∠ABC+∠A=90°，

　　∴∠A=∠DEB，

　　在△ABC和△EDB中，

　　，

　　∴△ABC≌△EDB，

　　∴BD=BC.

　　(2)解：∵E是BC中點，BD=6cm，BD=BC，

　　∴BE= BC= BD=3cm，

　　∵△ABC≌△EDB，

　　∴AC=BE=3cm.

　　23.為了解中考體育科目訓練情況，某地從九年級學生中隨機抽取了部分學生進行了一次考前體育科目測試，把測試結果分為四個等級：A級：優秀;B級：良好;C級：及格;D級：不及格，并將測試結果繪成了如下兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖中的信息解答下列問題：

　　(1)請將兩幅不完整的統計圖補充完整;

　　(2)如果該地參加中考的學生將有4500名，根據測試情況請你估計不及格的人數有多少?

　　(3)從被抽測的學生中任選一名學生，則這名學生成績是D級的概率是多少?

　　【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖;概率公式.

　　【分析】(1)首先根據題意求得總人數，繼而求得A級與D級占的百分比，求得C級與D級的人數;則可補全統計圖;

　　(2)根據題意可得：估計不及格的人數有：4500×20%=900(人);

　　(3)由概率公式的定義，即可求得這名學生成績是D級的概率.

　　【解答】解：(1)總人數為：12÷30%=40(人)，

　　A級占： ×100%=15%，D級占：1﹣35%﹣30%﹣15%=20%;

　　C級人數：40×35%=14(人)，D級人數：40×20%=8(人)，

　　補全統計圖得：

　　(2)估計不及格的人數有：4500×20%=900(人);

　　(3)從被抽測的學生中任選一名學生，則這名學生成績是D級的概率是：20%.

　　24.，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= 的圖象相交于點A(﹣2，1)，點B(1，n).

　　(1)求此一次函數和反比例函數的解析式;

　　(2)請直接寫出滿足不等式kx+b﹣ <0的解集;

　　(3)在平面直角坐標系的第二象限內邊長為1的正方形EFDG的邊均平行于坐標軸，若點E(﹣a，a)，，當曲線y= (x<0)與此正方形的邊有交點時，求a的取值范圍.

　　【考點】反比例函數綜合題;反比例函數圖象上點的坐標特征;反比例函數與一次函數的交點問題;正方形的性質.

　　【分析】(1)由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數系數m，從而得出反比例函數解析式;由點B在反比例函數圖象上，即可求出點B的坐標，再由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數的解析式;

　　(2)根據兩函數圖象的上下關系結合交點坐標，即可得出不等式的解集;

　　(3)過點O、E作直線OE，求出直線OE的解析式，根據正方形的性質找出點D的坐標，并驗證點D在直線OE上，再將直線OE的解析式代入到反比例函數解析式中，求出交點坐標橫坐標，結合函數圖象以及點D、E的坐標即可得出關于a的一元一次不等式，解不等式即可得出結論.

　　【解答】解：(1)∵點A(﹣2，1)在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴m=﹣2×1=﹣2，

　　∴反比例函數解析式為y=﹣ ;

　　∵點B(1，n)在反比例函數y=﹣ 的圖象上，

　　∴﹣2=n，即點B的坐標為(1，﹣2).

　　將點A(﹣2，1)、點B(1，﹣2)代入y=kx+b中得：

　　，解得： ，

　　∴一次函數的解析式為y=﹣x﹣1.

　　(2)不等式﹣x﹣1﹣(﹣ )<0可變形為：﹣x﹣1<﹣ ，

　　觀察兩函數圖象，發現：

　　當﹣21時，一次函數圖象在反比例圖象下方，

　　∴滿足不等式kx+b﹣ <0的解集為﹣21.

　　(3)過點O、E作直線OE，所示.

　　∵點E的坐標為(﹣a，a)，

　　∴直線OE的解析式為y=﹣x.

　　∵四邊形EFDG是邊長為1的正方形，且各邊均平行于坐標軸，

　　∴點D的坐標為(﹣a+1，a﹣1)，

　　∵a﹣1=﹣(﹣a+1)，

　　∴點D在直線OE上.

　　將y=﹣x代入y=﹣ (x<0)得：

　　﹣x=﹣ ，即x2=2，

　　解得：x=﹣ ，或x= (舍去).

　　∵曲線y=﹣ (x<0)與此正方形的邊有交點，

　　∴﹣a≤﹣ ≤﹣a+1，

　　解得： ≤a≤ +1.

　　故當曲線y= (x<0)與此正方形的邊有交點時，a的取值范圍為 ≤a≤ +1.

　　25.已知二次函數y1=x2+mx+n的圖象經過點P(﹣3，1)，對稱軸是經過(﹣1，0)且平行于y軸的直線.

　　(1)求m，n的值.

　　(2)，一次函數y2=kx+b的圖象經過點P，與x軸相交于點A，與二次函數的圖象相交于另一點B，點B在點P的右側，PA：PB=1：5，求一次函數的表達式.

　　(3)直接寫出y1>y2時x的取值范圍.

　　【考點】二次函數與不等式(組);待定系數法求一次函數解析式;拋物線與x軸的交點.

　　【分析】(1)利用對稱軸公式求得m，把P(﹣3，1)代入二次函數y=x2+mx+n得出n=3m﹣8，進而就可求得n;

　　(2)根據(1)得出二次函數的解析式，根據已知條件，利用平行線分線段成比例定理求得B的縱坐標，代入二次函數的解析式中求得B的坐標，然后利用待定系數法就可求得一次函數的表達式;

　　(3)結合圖形解答即可.

　　【解答】解：∵對稱軸是經過(﹣1，0)且平行于y軸的直線，

　　∴﹣ =﹣1，

　　∴m=2，

　　∵二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點P(﹣3，1)，

　　∴9﹣3m+n=1，

　　∴n=3m﹣8=﹣2;

　　(2)∵m=2，n=﹣2，

　　∴二次函數為y=x2+2x﹣2，

　　作PC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則PC∥BD，

　　∴ = ，

　　∵P(﹣3，1)，

　　∴PC=1，

　　∵PA：PB=1：5，

　　∴PA：AB=1：6，

　　∴BD=6，

　　∴B的縱坐標為6，

　　代入二次函數為y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2，

　　解得x1=2，x2=﹣4(舍去)，

　　∴B(2，6)，

　　則 ，

　　解得， ，

　　∴一次函數的表達式為y2=x+4;

　　(3)由圖象可知，當x<﹣3或x>2時，y1>y2.

　　26.，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5.OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.

　　(1)試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由;

　　(2)若PC=2 ，求⊙O的半徑和線段PB的長;

　　(3)若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.

　　【考點】切線的性質;等腰三角形的性質;勾股定理;直線與圓的位置關系;相似三角形的判定與性質.

　　【分析】(1)連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可;

　　(2)延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2= ﹣(5﹣r)2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出 = ，代入求出即可;

　　(3)根據已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE

　　【解答】解：(1)AB=AC，理由如下：

　　連接OB.

　　∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

　　∴∠OBA=∠OAC=90°，

　　∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

　　∵OP=OB，

　　∴∠OBP=∠OPB，

　　∵∠OPB=∠APC，

　　∴∠ACP=∠ABC，

　　∴AB=AC;

　　(2)延長AP交⊙O于D，連接BD，

　　設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

　　則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

　　AC2=PC2﹣PA2= ﹣(5﹣r)2，

　　∴52﹣r2= ﹣(5﹣r)2，

　　解得：r=3，

　　∴AB=AC=4，

　　∵PD是直徑，

　　∴∠PBD=90°=∠PAC，

　　又∵∠DPB=∠CPA，

　　∴△DPB∽△CPA，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　解得：PB= .

　　∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為 ;

　　(3)作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出OE= AC= AB=

　　又∵圓O與直線MN有交點，

　　∴OE= ≤r，

　　≤2r，

　　25﹣r2≤4r2，

　　r2≥5，

　　∴r≥ ，

　　又∵圓O與直線相離，

　　∴r<5，

　　即 ≤r<5.

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