2017廣西桂林中考數學模擬試題(2)
2017廣西桂林中考數學模擬真題答案
一、選擇題
題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 A D C B C B C B D A
二、填空題
題 號 11 12 13 14 15 16
答 案 80 直角 6 8 + +2
135
三、解答題
17.(本小題滿分9分)
解法一(加減消元法)：
①-②，得( + )-( - )=-5-7，…………………………3分
即 =-12，…………………………………………………………………4分
解得 =-2，……………………………………………………………………5分
把 =-2代入②，………………………………………………………………6分
-4×(-2)=7，…………………………………………………………7分
得 =-1，………………………………………………………………………8分
∴原方程組的解為 .……………………………………………………9分
[若用②-①、①×2+②等，均參照給分]
解法二(代入消元法)：
由①得， =- -5 ③，……………………………………………3分
把③式代入②式，…………………………………………………………………4分
得(- -5)- =7，……………………………………………………5分
解得 =-2，……………………………………………………………………6分
把 =-2代入③式，……………………………………………………………7分
=-2×(-2)-5=-1，………………………………………………8分
∴原方程組的解為 .……………………………………………………9分
[由②式變形代入，均參照給分]
18.(本小題滿分9分)
證法一：
∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，………………2分
又∵BE=DF，∴AB-BE=AD-DF，……………………………………4分
即AE=AF.…………………………………………………………………………5分
在△ACE和△ACF中，
∵ ，…………………………………………………………………8分
∴△ACE≌△ACF(SAS).……………………………………………………9分
證法二：
∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=DC，∠B=∠D，…………………………1分
在△BCE和△DCF中，
∵ ，…………………………………………………………………………2分
∴△BCE≌△DCF(SAS)，……………………………………………………3分
∴CE=CF.…………………………………………………………………………4分
∵AB=AD，BE=DF，AB-BE=AD-DF，…………………………5分
即AE=AF.…………………………………………………………………………6分
在△ACE和△ACF中，
∵ ，…………………………………………………………………………8分
∴△ACE≌△ACF(SSS).……………………………………………………9分
19.(本小題滿分10分)
解：(1)
樹狀圖如下：
點P所有可能的坐標有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，
(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，
(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12種;……………………7分
列表如下：
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(注：樹形圖或列表二者取其一)
(2)∵共有12種等可能的結果，
其中在函數 =- +4圖象上的點有2個(2種)，………………………1分
即(1，3)，(3，1)，
∴點P( ， )在函數 =- +4圖象上的概率為：
P(點在圖象上)= = .…………………………………………………3分
20.(本小題滿分10分)
解：(1)-8;…………………………………………………………………2分
(2)∵OA=OB=2，∴A、B點的坐標
分別為A(2，0)、B(0，2).……………………………………………2分
設直線所對應的一次函數的解析為 = + ，……………………………3分
分別把A、B的坐標代入其中，得
，……………………………………………………………………4分
解得 ，…………………………………………………………………5分
∴一次函數的解析為 =- +2;
(3)由(1) =-8，
則 + +7= - +7
=( -1)( -7).……………………………………3分
21.(本小題滿分12分)
解：(1)尺規作圖略;…………………………………………………………3分
(2)EF∥BC(即EF平行于BC).……………………………………1分
原因如下：如圖1，∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC(等角對等邊)，即△CAD為等腰三角形;…………………2分
又CF是頂角∠ACD的平分線，由“三線合一”定理，
知CF是底邊AD的中線，即F為AD的中點，……………………………3分
結合E是AB的中點，得EF為△ABD的中位線，………………………4分
∴EF∥BD，從而EF∥BC;……………………………………………5分
(3)由(2)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，…………………1分
∴ ，……………………………………………………………2分
又∵AE= AB，∴得 ，
把S四邊形BDFE=9代入其中，解得
S△AEF=3，………………………………………………………………………3分
∴S△ABD=S△AEF+S四邊形BDFE=3+9=12，……………………………4分
即△ABD的面積為12.
22.(本小題滿分12分)
解：設輪船的日速為 千米/日，…………………………………………………1分
由題意，得 ×3= ，…………………………………………7分
解此分式方程，得 =392，……………………………………………………9分
經檢驗， =392是原分式方程的解，………………………………………10分
-49=735.……………………………………………………………11分
答：列車的速度為735千米/日;輪船的速度為392千米/日.………12分
23.(本小題滿分12分)
解：(1)30;……………………………………………………………………1分
(2)連結OD、AD(如圖2).
∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°.∵ =2 ，
設 所對的圓心角∠COD= ，………………………………………………1分
則∠AOD= ，…………………………………………………………………2分
由∠AOD+∠DOC=90°，
得 + =90°，∴ =30°， =60°，…………………………3分
即∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD為等邊三角形，…………4分
∴AD=OA=4;…………………………………………………………………5分
(3)過點D作DE⊥OC，交⊙O于點E，……………………………………1分
連結AE，交OC于點P(如圖3)，………………………………………………2分
則此時，AP+PD的值最小.
∵根據圓的對稱性，點E是點D關于OC的對稱點，
OC是DE的垂直平分線，即PD=PE.………………………………………3分
∴AP+PD=AP+PE=AE，
若在OC上另取一點F，連結AF、FD及EF，
在△AFE中，AF+FE>AE，
即AF+FE>AP+PD，
∴可知AP+PD最小.…………………………………………………………4分
∵∠AED= ∠AOD=30°，
又∵OA⊥OC，DE⊥OC，∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°.
延長AO交⊙O于點B，連結BE，∵AB為直徑，
∴△ABE為直角三角形.由 =cos∠BAE，……………………………5分
得AE=AB•cos30°=2×4× = ，……………………………6分
即AP+PD= ，
[也可利用勾股定理求得AE]
24.(本小題滿分14分)
解：(1)把D(0，-3)坐標代入直線 = + 中，
得 =-3，從而得直線 = -3.……………………………………………1分
由M為直線 =- 與直線 = -3的交點，
得 ，………………………………………………………………………2分
解得 ，∴得M點坐標為M(2，-1).…………………………………3分
∵M為二次函數 = + + 的頂點，∴其對稱軸為 =2，
由對稱軸公式： =- ，得- =2，∴ =-4;
由 =-1，得 =-1，得 =3.
∴二次函數 = + + 的解析式為： = -4 +3;………………4分
[也可用頂點式求得解析式：由M(2，-1)，
得 = -1，展開得 = -4 +3]
(2)∵M是直線 =- 和 = + 的交點，得 ，
解得 ，∴得M點坐標為M(- ， ).…………………………1分
從而有- =- 和 = ，
解得 = ; = + .…………………………………………………3分
由 ，得 +( -1) + - =0，……………………4分
該一元二次方程根的判別式
⊿=( -1)2-4( - )
=( -1)2-4( + - )=1>0，…………………………5分
∴二次函數 = + + 的圖象與直線 = + 總有兩個不同的交點;
(3)解法①：
由(1)知，二次函數的解析式為： = -4 +3，
當 =0時， =3.∴點C的坐標為C(0，3).……………………………1分
令 =0，即 -4 +3=0，解得 =1， =3，
∴點A的坐標為A(3，0).………………………………………………………2分
由勾股定理，得AC=3 .∵M點的坐標為M(2，-1)，
過M點作 軸的垂線，垂足的坐標應為(2，0)，由勾股定理，
得AM= ;過M點作 軸的垂線，垂足的坐標應為(0，-1)，
由勾股定理，得CM= = =2 .
∵AC2+AM2=20=CM2，∴△CMA是直角三角形，……………………3分
CM為斜邊，∠CAM=90°.
直線 =- 與△CMA的外接圓的一個交點為M，另一個交點為P，
則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△.………………………………………4分
設P點的橫坐標為 ，則P( ，- ).過點P作 軸垂線，
過點M作 軸垂線，兩條垂線交于點E(如圖4)，則E( ，-1).
過P作PF⊥ 軸于點F，則F(0，- ).
在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2
=(- +1)2+(2- )2= -5 +5.
在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2= +(3+ )2
= +3 +9.在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，
得 +3 +9+ -5 +5=20，
化簡整理得5 -4 -12=0，解得 =2， =- .
當 =2時， =-1，即為M點的橫、縱坐標.
∴P點的橫坐標為- ，縱坐標為 .
∴P(- ， ).……………………………………………………………………5分
解法②[運用現行高中基本知識(解析幾何)：線段中點公式及兩點間距離公式]：
設線段CM的中點(即△CMA內接圓的圓心)為H，則由線段中點公式，可求出H的坐標為H(1，1).∵點P在⊙H上，∴點P到圓心H的距離等于半徑.
設點P的坐標為：P( ，- )，由兩點間的距離公式，得PH的長度為：
，從而有： = ，即
=5，化簡，整理，得化簡整理得5 -4 -12=0，解得 =2， =- .當 =2時， =-1，即為M點的橫、縱坐標.
∴P點的橫坐標為- ，縱坐標為 .
∴P(- ， ).
[對該解法，可相應給分]
25.(本小題滿分14分)
解：(1)42;……………………………………………………………………1分
(2)畫圖如下(如圖5).………………………………………………………3分
∵∠DA =90°，∠CAD=20°，
∴∠CA =∠DA -∠CAD=90°-20°=70°;…………5分
(3)畫圖如下：將△BDC繞點B按逆時針方向旋轉60°…………………2分
到△BEF的位置(如圖6).
連結DE，CF，這樣可知△BDE和△BCF均為等邊三角形，
從而DE= ，CF= .
∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，即∠ADE=180°，
則A、D、E三點共線(即該三點在同一條直線上).……………………………3分
同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，
即∠DEF=180°，則D、E、F三點共線，
∴A、D、E、F四點均在一條直線上.…………………………………………4分
∵EF=DC= ，∴線段AF= + + .
以線段AF為邊在點B一側作等邊△AFG(圖6)，……………………………5分
則△AFG即為符合條件的等邊三角形，其中的點B即為點M.…………………6分
正三角形的邊長為 + + 已證，BA= ，BF=BC= ，
下面再證BG= .
∵∠CFB=∠AFG=60°，
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，∴∠1=∠2.
在△AFC和△GFB中，∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB，
∴△AFC≌△GFB(SAS)，
∴AC=GB，即BG=CA= .
從而點B(M)到等邊△AFG三個頂點的距離分別為 、 、 ，
且其邊長為 + + .………………………………………………………………8分
[注：把△ADB繞點A按逆時針方向旋轉60°，
把△CDA繞點C按逆時針方向旋轉60°，
把△ADC繞點A按順時針方向旋轉60°，
把△BCD繞點C按順時針方向旋轉60°等
均可證得，方法類似]
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