2017南充中考數學練習試卷(2)
∵D為OB的中點，
∴CD是△OBE的中位線，即CD= BE.
設A(x， )，則B(2x， )，CD= ，AD= ﹣ ，
∵△ADO的面積為1，
∴ AD•OC=1， ( ﹣ )•x=1，解得k= ，
故答案是： .
21.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C的對應點為C′，再將所折得的圖形沿EF折疊，使得點D和點A重合.若AB=3，BC=4，則折痕EF的長為 .
【考點】翻折變換(折疊問題);矩形的性質.
【分析】首先由折疊的性質與矩形的性質，證得△BND是等腰三角形，則在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的長，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函數的性質即可求得MF的長，又由中位線的性質求得EM的長，則問題得解.
【解答】解：設BC′與AD交于N，EF與AD交于M，
根據折疊的性質可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM= AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
設AN=x，則BN=DN=4﹣x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=(4﹣x)2，
∴x= ，
即AN= ，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND(AAS)，
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴ ，
∴ ，
∴MF= ，
由折疊的性質可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME= AB= ，
∴EF=ME+MF= + = .
故答案為： .
三、解答題(本大題共8小題，共57分)
22.(1)先化簡，再求值：(x+1)2+x(2﹣x)，其中x=
(2)解不等式組 ，并把解集表示在數軸上.
【考點】整式的混合運算—化簡求值;在數軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組.
【分析】(1)先算乘法，再合并同類項，最后代入求出即可;
(2)先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數軸上表示出來即可.
【解答】解：(1)原式=x2+2x+1+2x﹣x2
=4x+1，
當x= 時，原式=4 +1;
(2)
∵解不等式①：x<4，
解不等式②：x<3，
∴原不等式組的解集是：x<3，
原不等式組的解集在數軸上表示為： .
23.如圖，C是AB的中點，AD=BE，CD=CE.求證：∠A=∠B.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據中點定義求出AC=BC，然后利用“SSS”證明△ACD和△BCE全等，再根據全等三角形對應角相等證明即可.
【解答】證明：∵C是AB的中點，
∴AC=BC，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B.
24.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且BC=2，連接CD，求BD的長.
【考點】三角形的外接圓與外心.
【分析】根據圓周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直徑，根據勾股定理計算即可.
【解答】解：∵∠A和∠D所對的弧都是弧BC，
∴∠D=∠A=45°，
∵BD是直徑，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=∠DBC=45°，
∴CB=CD=2，
由勾股定理得：BD= =2 .
25.如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米?
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】設AB的長度為x米，則BC的長度為米;然后根據矩形的面積公式列出方程.
【解答】解：設AB的長度為x米，則BC的長度為米.
根據題意得 x=400，
解得 x1=20，x2=5.
則100﹣4x=20或100﹣4x=80.
∵80>25，
∴x2=5舍去.
即AB=20，BC=20.
答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.
26.商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，某同學去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同.
(1)若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是多少?
(2)若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)由商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數量充足，某同學去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與他恰好買到雪碧和奶汁的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)∵商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數量充足，某同學去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，
∴他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是： ;
(2)畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結果，他恰好買到雪碧和奶汁的有2種情況，
∴他恰好買到雪碧和奶汁的概率為： = .
27.如圖1，已知雙曲線y= (k>0)與直線y=k′x交于A、B兩點，點A在第一象限，試回答下列問題：
(1)若點A的坐標為(3，1)，則點B的坐標為 (﹣3，﹣1) ;當x滿足： ﹣3≤x<0或x≥3 時， ≤k′x;
(2)如圖2，過原點O作另一條直線l，交雙曲線y= (k>0)于P，Q兩點，點P在第一象限.
①四邊形APBQ一定是 平行四邊形 ;
②若點A的坐標為(3，1)，點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積.
(3)設點A，P的橫坐標分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎?可能是正方形嗎?若可能，直接寫出m，n應滿足的條件;若不可能，請說明理由.
【考點】反比例函數綜合題.
【分析】(1)根據正比例函數與反比例函數的圖象的交點關于原點對稱，即可解決問題，利用圖象根據正比例函數的圖象在反比例函數的圖象的上方，即可確定自變量x的范圍.
(2)①利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可.
②利用分割法求面積即可.
(3)根據矩形的性質、正方形的性質即可判定.
【解答】解：(1)∵A、B關于原點對稱，A(3，1)，
∴點B的坐標為(﹣3，﹣1).
由圖象可知，當﹣3≤x<0或x≥3時， ≤k′x.
故答案為(﹣3，﹣1)，﹣3≤x<0或x≥3
(2)①∵A、B關于原點對稱，P、Q關于原點對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形;
②∵點A的坐標為(3，1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函數的解析式為y= ，
∵點P的橫坐標為1，
∴點P的縱坐標為3，
∴點P的坐標為(1，3)，
由雙曲線關于原點對稱可知，點Q的坐標為(﹣1，﹣3)，點B的坐標為(﹣3，﹣1)，
如圖2，過點A、B分別作y軸的平行線，過點P、Q分別作x軸的平行線，分別交于C、D、E、F，
則四邊形CDEF是矩形，
CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
則四邊形APBQ的面積=矩形CDEF的面積﹣△ACP的面積﹣△PDB的面積﹣△BEQ的面積﹣△AFQ的面積
=36﹣2﹣8﹣2﹣8
=16.
(3)mn=k時，四邊形APBQ是矩形，
不可能是正方形.
理由：當AB⊥PQ時四邊形APBQ是正方形，此時點A、P在坐標軸上，由于點A，P可能達到坐標軸故不可能是正方形，即∠POA≠90°.
28.如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點.
(1)求證：BD=CE;
(2)若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，
①當∠EAC=90°時，求PB的長;
②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最小值與最大值.
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)欲證明BD=CE，只要證明△ABD≌△ACE即可.
(2)①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1.由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解決問題.b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3.解法類似.
②a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小.b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大.分別求出PB即可.
【解答】(1)證明：如圖1中，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE.
(2)①解：a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC.
∴ = ，
∴ = ，
∴PB=
b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PB= ，
綜上，PB= 或 .
②解：a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小.
理由：此時∠BCE最小，因此PB最小，(△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD﹣PD= ﹣1.
b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大.
理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，(△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD= +1.
綜上所述，PB長的最小值是 ﹣1，最大值是 +1.
29.如圖，二次函數y= x2+bx﹣ 的圖象與x軸交于點A(﹣3，0)和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.
(1)請直接寫出點D的坐標： (﹣3，4) ;
(2)當點P在線段AO(點P不與A、O重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值;
(3)是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形?若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)將點A的坐標代入二次函數的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標;
(2)PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數，求最值即可;
(3)分點P位于y軸左側和右側兩種情況討論即可得到重疊部分的面積.
【解答】解：(1)(﹣3，4);
(2)設PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣ + =﹣ (t﹣ )2+
∴當t= 時，l有最大值
即P為AO中點時，OE的最大值為 ;
(3)存在.
①點P點在y軸左側時，DE交AB于點G，
P點的坐標為(﹣4，0)，
∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG= =
∴重疊部分的面積= =
②當P點在y軸右側時，P點的坐標為(4，0)，
此時重疊部分的面積為
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