2017年臨沂數學中考模擬真題及答案(2)
【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵.
14.，一直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，P是線段
AB上任意一點(不包括端點)，過P分別作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸
圍成的矩形的周長為10，則該直線的函數表達式是( )
A.y=x+5 B.y=x+10 C.y=﹣x+5 D.y=﹣x+10
【考點】待定系數法求一次函數解析式;矩形的性質.
【分析】設P點坐標為(x，y)，由坐標的意義可知PC=x，PD=y，根據題意可得到x、y之間的關系式，可得出答案.
【解答】解：設P點坐標為(x，y)，，過P點分別作PD⊥x軸，PC⊥y軸，垂足分別為D、C，
∵P點在第一象限，
∴PD=y，PC=x，
∵矩形PDOC的周長為10，
∴2(x+y)=10，
∴x+y=5，即y=﹣x+5，
故選C.
【點評】本題主要考查矩形的性質及點的坐標的意義，根據坐標的意義得出x、y之間的關系是解題的關鍵.
三、解答題(本大題共9個小題，滿分70分)
15.(7分)計算：先化簡，再求值： ，其中x=1.
【考點】分式的化簡求值.菁優網版權所有
【分析】先算括號里面的，再算除法，或者利用乘法分配律進行化簡，最后把x的值代入進行計算即可.
【解答】
當 時，原式= .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，此類題型的特點是：利用方程解的定義找到相等關系，再把所求的代數式化簡后整理出所找到的相等關系的形式，再把此相等關系整體代入所求代數式，即可求出代數式的值.
16.(7分)，∠ADB=∠AEC，AD=AE.求證：BE=CD.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據全等三角形的判定和性質即可得到結論.
【解答】
證明：在△ADB和△AEC中
∵ ∠ADB=∠AEC，AD=AE，∠DAB=∠EAC
∴ △ADB≌△AEC
∴ AB=AC
又∵ AD=AE
∴ BE=CD
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.
17.(7分)，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為45°，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為30°，求調整后的樓梯AC的長.(精確到0.1m， ， )
【考點】解直角三角形的應用;坡度坡角問題.
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計算AC即可.
【解答】
解：在Rt△ADB中，∵sin∠ABD= ，
∴AD=4sin45°= (m)，
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，
∴AC= (m).
答：調整后的樓梯AC的長約為5.6 m
【點評】本題考查了解直角三角形的實際應用中的坡度坡角問題，難度不大，注意細心運算即可.
18.(8分)荔枝是云南省的特色水果，小明的媽媽先購買了2千克酸味和3千克甜味，共花費90元;后又購買了1千克酸味和2千克甜味，共花費55元.(每次兩種荔枝的售價都不變)
(1)求酸味和甜味的售價分別是每千克多少元;
(2)如果還需購買兩種荔枝共12千克，要求甜味的數量不少于酸味數量的兩倍，請設計一種購買方案，使 所需總費用最低.
【考點】一次函數的應用;二元一次方程組的應用.
【分析】(1)設酸味售價為每千克x元，甜味售價為每千克y元，根據題意列出方程組即可解決問題.
(2)設購買酸味n千克，總費用為m元，則購買甜味12﹣n千克，路程不等式求出n的范圍，再構建一次函數，利用一次函數的性質解決最值問題.
【解答】
解：(1)設酸味售價為每千克x元，甜味售價為每千克y元，
根據題意得： 解得：
答：酸味售價為每千克15元，甜味售價為每千克20元.
(2)設購買酸味n千克，總費用為m元，則購買甜味12-n千克，
∴12-n≥2n ∴n≤4
m=15n+20(12-n)=-5n +240
∵k=-5<0 ∴m隨n的增大而減小
∴當n=4時，m =220
答：購買酸味4千克，甜味8千克時，總費用最少.
【點評】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是學會設未知數，列出解方程組解決問題，學會構建一次函數，利用一次函數的性質解決最值問題，屬于中考常考題型.
19.(8分)，轉盤A的三個扇形面積相等，分別標有數字1，2，3，轉盤B的四個扇形面積相等，分別標有數字1，2，3，4.轉動A、B轉盤各一次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的兩個數字相加(當指針落在四個扇形的交線上時，重新轉動轉盤).
(1)用樹狀圖或列表法列出所有可能出現的結果;
(2)若規定兩個數字的和為5時甲贏，兩個數字的
和為4時乙贏，請問這個游戲對甲、乙兩人是否公平?
【考點】游戲公平性;列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果;
(2)分別求出定兩個數字的和為5時和兩個數字的和為4時的概率，即可知道游戲是否公平不公平.
【解答】(1)畫樹狀圖得：(或者列表得)
和 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
則共有12種等可能的結果;
(2)∵兩個數字的和為5或者和為4都是有3種情況，
∴兩個數字的和為5或者和為4的概率都是： .
∴這個游戲對甲、乙兩人是公平的.
【點評】本題考查游戲公平性、列表法和樹狀圖法，解答此類問題的關鍵是明確題意，寫出所有的可能性.
20.(7分)，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，AE∥BD.
求證：四邊形AODE是矩形.
【考點】矩形的判定;菱形的性質.
【專題】證明題.
【分析】根據菱形的性質得出AC⊥BD，再根據平行四邊形的判定定理得四邊形AODE為平行四邊形，由矩形的判定定理得出四邊形AODE是矩形.
【解答】
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE為平行四邊形，
∴四邊形AODE是矩形.
【點評】本題考查了矩形的判定以及菱形的性質，還考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.
21.(9分)某學校為了增強學生體質，決定開放以下球類活動項目：A.籃球、B.乒乓球、C.排球、D.足球.為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖(①，圖②)，請回答下列問題：
(1)這次被調查的學生共有多少人?
(2)請你將條形統計圖補充完整;
(3)若該校共有學生1900人，
請你估計該校喜歡D項目的人數.
【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;
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【分析】(1)用喜歡籃球的人數除以喜歡籃球的人數所占的百分比，即可求出這些被調查的學生數;
(2)用總人數減去喜歡籃球、乒乓球和足球的人數，即可求出喜歡排球的人數，從而補全統計圖;
(3)用總人數乘以喜歡足球的人數所占的百分比即可.
【解答】解：(1)由扇形統計圖可知：扇形A的圓心角是36°，
所以喜歡A項目的人數占被調查人數的百分比= ×100%=10%.
由條形圖可知：喜歡A類項目的人數有20人，
所以被調查的學生共有20÷10%=200(人).
(2)喜歡C項目的人數=200-(20+80+40)=60(人)，
因此在條形圖中補畫高度為60的長方條，所示.
(3)1900×(40÷200)=380(人).
答：該校喜歡D項目的人數約為380人.
【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據;扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.
22.(8分)，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E，過點D作DF⊥AC于F.
(1)求證：DF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2，BC= ，求DF的長.
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)欲證明DF是⊙O的切線只要證明DF⊥OD，
只要證明OD∥AC即可.
(2)連接AD，首先利用勾股定理求出AD，由△ADC∽△DFC可得 ，列出方程即可解決問題.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵OB=OD ∴∠ABC=∠ODB
∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∴∠ODB=∠ACB ∴OD∥AC
∵DF⊥AC ∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切線
(2)連接AD，∵AB是⊙O的直徑
∴AD⊥BC 又∵AB=AC
∴BD=DC=
∴AD=
∵DF⊥AC ∴△ADC∽△DFC
∴ ∴DF=
【點評】本題考查切線的判定、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.
23.(9分)，拋物線y=ax2+bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H.
(1)求拋物線的表達式;
(2)直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積;
(3)點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，
當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標.
【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數圖象與幾何變換.
【分析】(1)把A點和B點坐標分別代入y=ax2+bx中得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式;
(2)計算函數值為3所對應的自變量的值即可得到C點，然后根據三角形面積公式計算△ABC的面積;
(3)作PD⊥BH，，設P(m，﹣m2+4m)，則利用S△ABH+S梯形APDH=S△PBD+S△ABP可得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標.
【解答】
解：(1)把點A(4，0)，B(1，3)代入拋物線y=ax2+bx中，得
∴拋物線表達式為：y=﹣x2+4x;
(2)點C的坐標為(3，3)，
又∵點B的坐標為(1，3)， ∴BC=2，
∴S△ABC= ×2×3=3;
(3)過P點作PD⊥BH交BH于點D，
設點P(m，﹣m2+4m)，
根據題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，
6= ×3×3+ (3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣ (m﹣1)(3+m2﹣4m)，
∴3m2﹣15m=0，
m1=0(舍去)，m2=5，
∴點P坐標為(5，﹣5).
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
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